Funciones y Ecuaciones Lineales

FUENTE:http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_lin_res_graf/sistemas_de_ecuaciones_lineales.html

 
    La ecuación y = mx+n se representa por una recta, de forma que la pendiente de la recta es m (representa la variación de y por cada unidad de x) y su ordenada en el origen es n, es decir la recta corta al eje OY en el punto (0,n)

    En la primera escena vamos a representar una función lineal. Para ello vamos a necesitar el cuaderno de trabajo y seguiremos estos pasos:

• Despejaremos y en la expresión que nos den, es decir, escribiremos la expresión analítica de la función en la forma y= m x+n siendo m la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen.
• A continuación hacemos una tabla de valores eligiendo para la x (abcisa) al menos tres valores.
• Una vez que tengamos tres puntos pertenecientes a la recta, introducimos en la escena los valores correspondientes a dos de ellos. Lo haremos utilizando
• ( x1 , y1)  para el primer punto y (x2, y2) para el segundo.
• Cuando ya tengamos esos valores introducidos la recta quedará representada y además se indicará en la escena el valor de la pendiente.

1.-  Representa las siguientes funciones lineales. (Para ello en tu cuaderno de trabajo despeja y, si es que no te la dan la función en forma explícita) y haz la tabla de valores. Cuando los tengas introdue los dos puntos en la escena.)

    y = 2x+1        y-3x = 2              2x+y = 0     4x+2y=6


2) Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales

    Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema del tipo:

    Sabemos que al resolverlo analíticamente podemos encontrar:

• Que el sistema tenga una única solución.
• Que el sistema tenga infinitas soluciones.
• Que el sistema no tenga solución.

    En el tema de funciones hemos estudiado, que si representamos una ecuación lineal, su gráfica es una recta.
    También sabemos que si dos rectas tienen la misma pendiente y no son coincidentes, son paralelas y por tanto no se cortan en ningún punto, de forma que el sistema no tendrá solución y si son coincidentes el sistema tendrá infinitas soluciones.
    Si tienen distinta pendiente, se cortan en un punto y en ese caso, dicho punto es la solución del sistema .
    Modifica los valores de a, b, c, A, B, y C para comprobar que sucede al variar esos datos.
    Nota : ten en cuenta que en la primera ecuación la pendiente de la recta es m= -a/b y en la segunda M=-A/B. También pudes utilizar que el vector normal de la primera recta (a,b) y de la segunda (A,B) son proporcionales si las rectas son paralelas.En la escena que aparece a continuación puedes comprobar gráficamente lo anterior. 

1.- En tu cuaderno de trabajo resuelve analíticamente los siguientes sistemas lineales y comprueba, en la escena, que la solución obtenida analíticamente, coincide con la solucíon obtenida gráficamente.  

Ecuaciones Cuadráticas

FUENTE:http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html


 Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax² + bx + c, donde  a, b, y c son números reales.


Ejemplo:
9x² + 6x + 10         a = 9, b = 6, c = 10
3x²  - 9x                 a = 3, b = -9, c = 0
-6x ² + 10              a = -6, b = 0, c = 10


Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas:

1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática


Factorización Simple:
 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.







Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
 x2 + 2x – 8  = 0          a = 1    b = 2    c = - 8

(x       )   (x       ) = 0                 [x ·x = x²]

( x +   )   (x  -   ) = 0

(x + 4 ) (x – 2) = 0                                        4 y –2     4 + -2 = 2
                                                                    4 · -2 = -8




x + 4 = 0       x – 2 = 0



x + 4 = 0      x – 2 = 0
x = 0 – 4      x = 0 + 2
x = -4           x = 2                   Estas son las dos soluciones.


Completando el Cuadrado:
  En este método, la ecuación  tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
 Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:

4x2 + 12x – 8  = 0  4        4      4      4

x² + 3x – 2 = 0   Ahora,  a= 1.

Ejemplo:
x² + 2x – 8 = 0           [Ya está en su forma donde a = 1.]
x² + 2x = 8                 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x² + 2x + ___ = 8 + ___   [Colocar los blancos]

x2  + 2x + 1    = 8 + 1

x²  + 2x + 1 = 9
(       )  (      )  = 9      Hay que factorizar.
                                 Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

( x + 1) (x + 1) = 9(x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±

x + 1 =  ± 3
x = -1 ± 3       [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3       x = -1 – 3
x = 2               x = -4



Fórmula Cuadrática:
 Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:







Ejemplo:
X² + 2x – 8 = 0      a = 1, b = 2, c = -8








x = -2 ± 6
          2
X =  -2 + 6     x = -2 - 6
           2                  2

   x = 4          x = -8
        2                  2
x = 2      x = - 4

VALOR ABSOLUTO

FUENTE:http://www.ditutor.com/numeros_enteros/valor_absoluto.html

Valor absoluto de un números entero

El valor absoluto de unnúmero entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2< x < 2        x  (−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2)  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

D= 

D=